Показать нельзя — надо доказатьТретья форма отличается от первых двух ровно одним: её нельзя просто предъявить
Дефиниция дала одну определённость, деление — определённость по отношению к другим. Теперь предмет расходится внутри себя: речь о том, как его собственные стороны связаны между собой.
Дефиниция содержит в себе лишь одну определенность, деление — определенность по отношению к другим определенностям; в становлении единичным предмет разошелся в разные стороны внутри самого себя. Наука логики, т. II, с. 218
Пример на треугольнике: дефиниция говорит «фигура из трёх прямых»; деление отличает его от четырёхугольника; теорема утверждает, что углы связаны со сторонами. Первые два можно предъявить, третье — нет.
Синтетическое в дефиниции и делении есть принятая извне связь; преднайденному придается форма понятия, но как преднайденное все содержание лишь показывается; теорема же должна быть доказана. т. II, с. 218
Связь не предъявляют. Её либо доказывают, либо она остаётся чужим мнением — и вот отсюда вырастает вся дальнейшая история с построениями и доказательствами.
Возражение напрашивается. Раз это познание всё равно не выводит содержания своих определений, а берёт готовым, — почему бы и связь не взять готовой? Посмотрели, увидели, записали.
Ответ Гегеля. Тогда исчезнет разница между познанием и простым восприятием. «познание отличается от голого восприятия и представления именно формой понятия вообще, которую оно сообщает содержанию» (т. II, с. 218). В дефиниции и делении эта форма ещё справлялась сама. В теореме содержание вышло за её пределы — и оправдания больше нет.
Отсюда честный вывод. Доказательство нужно не предмету, а познанию: «доказывание здесь становится, следовательно, необходимым самому этому познанию» (т. II, с. 218). Запомните эту формулировку — ниже она обернётся приговором.
Что положить в основаниеГде проходит граница между «это определение» и «это надо доказать»
Прежде чем доказывать, надо решить, что доказательства не требует. Кажется, что тут есть правило: непосредственное — в дефиницию, опосредованное — в теоремы. Попробуйте применить его.
При этом здесь прежде всего выступает трудность провести определенное различение касательно того, какие из определений предмета могут быть включены в дефиниции и какие из них должны быть отнесены в теоремы. Относительно этого не может быть никакого принципа. т. II, с. 218–219
Правило «непосредственное — в дефиницию» не работает: содержание дефиниции само уже опосредовано, а непосредственным его делает только решение начать именно отсюда. Непосредственность тут «субъективная» — то есть наша.
Аксиома о параллельных
Дальше идёт место, которое стоит прочесть медленно: Гегель говорит о самом знаменитом «пробеле» в математике — и отказывается считать его пробелом.
Что же касается упомянутой аксиомы о параллельных линиях, то можно относительно этого заметить, что как раз в ней видно правильное чутье Эвклида, точно оценившего как стихию, так и природу своей науки… т. II, с. 219
Две тысячи лет её пытались доказать, считая, что Евклид чего-то не доделал. Гегель говорит обратное: Евклид знал, где его наука кончается, и честно поставил там предпосылку вместо доказательства.
Довод Гегеля. Доказывать аксиому о параллельных надо было бы «исходя из понятия параллельных линий» (т. II, с. 219). Но выводить понятия — не задача геометрии: она точно так же не выводит ни своих дефиниций, ни самого пространства. Значит, аксиома для неё — не дыра, а относительно-первое: то, с чего эта наука по своей природе обязана начинать.
Что случилось потом. Через десять с небольшим лет после смерти Гегеля Лобачевский и Бойяи показали, что пятый постулат не выводится из остальных и что его отрицание даёт не противоречие, а другую, столь же связную геометрию. Многовековые попытки доказать его действительно были обречены — и в этом Гегель угадал.
А в чём не угадал. Его объяснение оказалось не тем: дело не в том, что доказательство потребовало бы «понятия», лежащего вне геометрии, а в том, что постулат независим от остальных, и потому геометрий оказалось несколько. Гегелю такая возможность в голову не приходила: пространство для него одно.
Почему это стоит отметить, а не спрятать. Гегель здесь делает то, что делает регулярно: точно нащупывает больное место науки своего времени и неверно предсказывает, чем оно лечится. Верный диагноз, неверное лекарство.
А сами аксиомы?
Если бы это было на самом деле так, то они были бы чистыми тавтологиями, так как только в абстрактном тождестве нет никакой разности и, следовательно, не требуется также и никакого опосредствования. Но если аксиомы представляют собой нечто большее, чем тавтологии, то они суть положения, заимствованные из какой-либо другой науки… т. II, с. 219–220
Развилка простая. Либо аксиома ничего не говорит («А есть А») — тогда доказывать в ней нечего. Либо она что-то говорит — тогда это утверждение, которое где-то надо было обосновать, и геометрия просто взяла его готовым, чаще всего из логики.
Лемма
Лемма — вспомогательное положение, которое наука использует, но не доказывает у себя, потому что его место в другой науке. Гегель говорит, что аксиомы геометрии и есть такие леммы: «Они поэтому суть, собственно говоря, теоремы, и притом большей частью из логики» (т. II, с. 220).
Отсюда его вывод: аксиомы «точно так же нуждаются в доказательстве, как и дефиниции и подразделения, и их не делают теоремами только потому, что они как относительно-первые принимаются для известной точки зрения за предпосылки» (т. II, с. 220). Не «не нуждаются» — а «нуждаются, но не здесь».
Избыток реальностиУ треугольника шесть частей. Для понятия хватает трёх — а остальные три откуда?
Первые теоремы Евклида о треугольниках Гегель читает не как правила совпадения фигур, а как ответ на вопрос: сколько нужно задать, чтобы всё остальное было задано вместе с этим.
А именно, то, что вполне определяет треугольник (например, две стороны и заключенный между ними угол), есть для рассудка уже весь треугольник; для полной определенности последнего ничего больше не требуется; остальные два угла и третья сторона есть избыток реальности над определенностью понятия. т. II, с. 221
«Избыток» — не лишнее и не ошибка. Это то, чем существующая вещь всегда богаче своего понятия: чтобы треугольник был начерчен, все шесть частей должны быть налицо, хотя для его определённости достаточно трёх.
Указание же на полную определенность величины треугольника по его сторонам внутри его самого содержит в себе пифагорова теорема; только она впервые является уравнением сторон треугольника… т. II, с. 221
Разница между «определено» и «вычислено». Ранние теоремы говорят: задайте эти части — остальные заданы. Пифагор впервые говорит, чему именно они равны. Поэтому Гегель зовёт её «совершенной, реальной дефиницией треугольника» (с. 222) и замечает, что ею Евклид не случайно заканчивает первую книгу.
Он ищет в геометрии одну вещь — движение от всеобщего к единичности, проделанное самим содержанием, а не приложенное к нему снаружи. И находит: от общей дефиниции («три линии, замыкающие плоскую фигуру») через теоремы об определяемости к уравнению, где предмет полностью определён внутри себя.
«Это истинно синтетическое поступательное движение есть переход от всеобщего к единичности, а именно, к в себе и для себя определенному или к единству предмета в самом себе» (т. II, с. 222).
И тут же — удар по остальным наукам. В них «начинают с некоторого всеобщего, однако переход его в единичное и его конкретизация представляют собой лишь применение всеобщего к привходящему из какого-то другого места материалу; подлинное единичное, единичное идеи есть при таком подходе некоторый эмпирический придаток» (т. II, с. 222). То есть: общая теория плюс отдельно взятые факты, к которым её приложили. Единичное не выведено, а подшито.
Оговорка. Отождествление пифагоровой теоремы с «реальной дефиницией» — собственная интерпретация Гегеля, а не математическое утверждение. Проверять её надо не на верность геометрии (она ей не противоречит), а на то, работает ли она дальше в его собственном ходе.
Слепо повиноватьсяСамое узнаваемое место главы: вспомогательная линия, смысл которой откроется только потом
Всякий, кто учил геометрию, помнит это чувство: «проведём прямую, параллельную основанию». Зачем? Молчание. Через три строки всё сходится. Гегель поймал именно этот момент.
Это подбирание материала получает свой смысл только в самом доказательстве; само по себе оно представляется слепым и чуждым понятию… но при самом построении следует слепо повиноваться; поэтому сама по себе эта операция лишена смысла, так как руководящая ею цель еще не высказана. т. II, с. 223
Заметьте, в чём именно упрёк. Не в том, что построение трудно придумать, и не в том, что оно произвольно. В том, что ученик обязан выполнить его до того, как ему сказали зачем, — и это не дефект изложения, а устройство метода.
…опосредствующие определения, не опирающиеся на понятие связи, должны быть принесены, как предварительные материалы для здания доказательства, откуда-то извне. Эта подготовка есть построение. т. II, с. 223
Слово «извне» здесь ключевое: вспомогательная линия не следует из условия теоремы. Её приносит тот, кто уже знает, чем дело кончится, — то есть автор доказательства, а не сам предмет.
Необходимость для насГлавная формула всей главы — и, пожалуй, самая точная фраза Гегеля о науке
Построение слепо, но не субъективно: линию действительно можно провести. Доказательство наоборот — вполне осмысленно, но принадлежит нам, а не предмету.
Доказательство не есть некоторый генезис отношения, составляющего содержание теоремы; необходимость существует лишь для нашего разумения, а все доказательство — для субъективных потребностей познания. т. II, с. 223
«Генезис» — происхождение, порождение. Доказательство не показывает, откуда взялось то, что углы связаны со сторонами; оно показывает, что мы не можем это отрицать. Убедительность — не то же, что происхождение.
Доказательство есть поэтому вообще некоторая внешняя рефлексия, идущая извне внутрь, т. е. умозаключающая от внешних обстоятельств к внутреннему характеру отношения. т. II, с. 223
Ход мысли перевёрнут по отношению к делу: вспомогательные линии — следствие природы фигуры, а в доказательстве их делают основанием, из которого фигура «выводится». Вывод верен, порядок обратный.
Так как то следствие, которое прослеживается доказательством, представляет собой скорее нечто обратное природе самой вещи, то то, что в доказательстве рассматривается как основание, есть субъективное основание, из которого природа вещи проистекает только для познания. т. II, с. 224
Это ровно то различение, что было в «Учении о сущности»: формальное основание против реального. Доказательство даёт первое — достаточное, чтобы согласиться, но не то, из чего вещь действительно происходит.
Нет — и это важно не перепутать. Гегель не говорит, что теорема Пифагора недоказана или что доказательство ничего не даёт. Он говорит, чем именно оно является: способом убедиться, а не рассказом о происхождении.
Проверьте на себе. После любого школьного доказательства остаётся лёгкая неудовлетворённость: понятно, что иначе быть не может, но непонятно, почему так. Обычно это списывают на непонятливость. Гегель говорит: это не ваш дефект, это точное чувство границы метода.
Что было бы «генезисом». Изложение, в котором связь сторон и углов происходит из природы самого треугольника, а не устанавливается через принесённую извне линию. Геометрия такого не даёт и не обязана давать. Претензия адресована не ей — а тем, кто перенёс её метод туда, где он не работает.
Почему это работает в геометрииИ перестаёт работать всюду, куда её метод перенесли
Геометрия — образцовая синтетическая наука. Гегель объясняет, за счёт чего, и заодно спорит с модным в его время доводом.
Геометрия есть наука о величинах, и поэтому для нее весьма пригоден формальный процесс умозаключения; так как в ней рассматривают исключительно количественное определение и абстрагируют от качественного, то она может держаться в пределах формального тождества… т. II, с. 224
Причина успеха — бедность материала, а не богатство метода. Там, где всё сводится к «равно / не равно по величине», формальный вывод достаточен, потому что качественных переходов просто нет.
Против этого плоского взгляда необходимо прибегнуть к плоскому напоминанию о том, что ни одна наука не осуществляется через созерцание, а исключительно только через мышление. т. II, с. 224
Спор с распространённым тогда мнением, что сила геометрии в наглядности чертежа. Гегель переворачивает: чувственность материала — «низменность её точки зрения» (с. 225), а научной её делает как раз абстрактность предмета.
Тем самым геометрия выводится за пределы конечности, в рамках которой она двигалась вперед столь размеренно и уверенно, и понуждается перейти к бесконечности, — к приравниванию друг другу таких фигураций, которые разнятся между собой качественно. Здесь прекращается ее очевидность… т. II, с. 225
Речь о несоизмеримом: диагональ квадрата не выражается через сторону никаким отношением целых чисел, длина окружности — через диаметр. Сравнение по величине упирается в качественное различие, и уверенный шаг метода кончается.
Перенос в опытные науки
Дальше — страница, которую полезно прочесть всякому, кто имел дело с теорией, объясняющей ровно те данные, ради которых её собрали.
Так как эти всеобщие основы сами по себе не имеют никакой опоры, то говорят, что их пока следует допустить; но по выведенным следствиям мы начинаем замечать, что последние составляют, собственно говоря, основание тех основ. т. II, с. 226
Фигура кругового обоснования: силы и начала ставят в начало как самоочевидные, а держатся они на тех самых следствиях, которые из них потом выводят.
…это запутывание служило к тому, чтобы прикрыть обман познания, которое односторонне набрало опыты, благодаря чему оно только и могло получить свои простые дефиниции и основоположения, и которое устраняет возражение из опыта тем, что подвергает опыт рассмотрению и признает значимым не в его конкретной целокупности, а как пример… т. II, с. 226
Опыт берут не целиком, а той стороной, что подходит теории, и зовут это подтверждением. Сегодня для этого есть отдельные имена — подгонка выборки, предвзятость подтверждения. Гегель описал приём за полтора века до того, как его начали измерять.
Одна честная деталь
Гегель не выдаёт этот приём за чужой порок. Он тут же признаёт, что войти в такую науку иначе и нельзя: приходится «слепо допускать предпосылки» и запоминать определения о силах и материях, ещё не имея о них понятия (т. II, с. 226).
То есть перед нами не разоблачение, а описание цены. Наука работает так — и платит за это тем, что её основания видны только с конца.
Теорема об окнеГегель редко шутит. Здесь он шутит — и это самый доходчивый аргумент главы
Христиан Вольф, главный систематизатор немецкой школьной философии, применил геометрический метод ко всему подряд — включая архитектуру. Гегель выносит одну его теорему в сноску целиком.
Контраст между таким материалом, легко понятным, не способным по своей природе сделаться предметом строго научной трактовки, и неловкими научными окольными путями и оболочками сам по себе показал несообразность такого применения… т. II, с. 226–227
Смешно не потому, что вывод неверен (окно и правда делают по надобности хозяина), а потому, что аппарат доказательства несоразмерен делу: форма теоремы приложена туда, где нечего доказывать.
Он держит целый ход. Злоупотребление Вольфа подорвало доверие к методу — но, замечает Гегель, «веры в пригодность и существенность этого метода для придания философии научной строгости указанное злоупотребление не могло лишить; пример Спинозы в изложении его философии еще долго считался образцом для подражания» (т. II, с. 227).
Мишень — не Вольф. Мишень — «Этика» Спинозы с её дефинициями, аксиомами и теоремами. Смешной пример нужен, чтобы показать: дело не в неумелости подражателя, а в самом переносе.
Кто разрушил этот способ. По Гегелю, Кант и Якоби — и по-разному. Кант показал, что содержание прежней метафизики строгим доказательством приводится к антиномиям, но о природе самого способа доказательства не размышлял. Якоби же ударил именно по способу и «самым ясным и глубоким образом выделил тот пункт, в котором вся суть» (т. II, с. 227): такой метод обречён оставаться в кругу конечной необходимости, а свобода лежит по ту сторону.
Понятие себя не узналоЧем именно кончается теоретическое познание — и почему следующий шаг о действии
Но этот его предмет не соответственен ему; ибо понятие не становится единством себя с самим собой в своем предмете или в своей реальности; в необходимости его тождество имеет бытие для него, но в этом тождестве сама необходимость не есть его определенность, а выступает как некоторый внешний ему, т. е. не понятием определенный материал, в котором понятие, стало быть, не познает самого себя. т. II, с. 228
Итог всей ступени в одной фразе: познание дошло до необходимости, но эта необходимость осталась чужой. Мышление нашло связь в предмете и не смогло признать её своей — потому что материал был получен, а не выведен.
Но сфера необходимости есть высочайшая вершина бытия и рефлексии; она сама по себе переходит в свободу понятия… т. II, с. 228
Не отбрасывание, а вершина: дальше того, что доступно этому способу, идти некуда — и именно поэтому здесь совершается переход, а не остановка.
Идея, поскольку понятие теперь есть для себя в-себе-и-для-себя-определенное понятие, есть практическая идея, действование. т. II, с. 229
Поворот книги: пока познание только принимало мир, содержание всегда приходило извне. Теперь на очереди отношение, в котором понятие само что-то полагает в мире, — и оттого перестаёт зависеть от найденного.
Три частые ошибки
«Гегель считает математические доказательства несостоятельными».
Геометрия названа «блестящим примером» и «наиболее совершенным образцом» синтетического метода. Возражение точечное: доказательство даёт необходимость для нашего разумения, а не происхождение самой связи. Это не опровержение теоремы, а описание того, что она делает.
«Аксиому о параллельных Гегель считал недоказуемой — и оказался прав».
Прав он оказался в выводе, а не в доводе. Он считал, что доказательство потребовало бы «понятия», лежащего за пределами геометрии. Настоящая причина — независимость пятого постулата, открытая после его смерти, вместе с неевклидовыми геометриями, которых он не предполагал.
«Пример с окном Вольфа — просто издёвка над скучным предшественником».
Он вставлен ради Спинозы. Показав, во что превращается геометрический метод в чужой области, Гегель готовит серьёзный довод: «Этика», построенная по образцу Евклида, страдает не бездарностью автора, а самим переносом формы доказательства на предмет, у которого другая природа.
Слова этой главы
От знания к действиюТеоретическая идея исчерпана: она всегда получала содержание. Следующая — та, что его полагает
Познание дошло до необходимости и не смогло сделать её своей. Дальше книга разворачивается: не мир даёт понятию содержание, а понятие требует от мира соответствия.
Эта содержащаяся в понятии, равная ему и заключающая в себе требование единичной внешней действительности определенность есть добро. т. II, с. 229
«Добро» здесь — не мораль в обычном смысле, а логическая категория: определённость, которая не описывает действительность, а предъявляет ей требование. Отсюда и разговор о воле, цели и о том, почему благо у Гегеля оказывается «ограниченным».
Дальше — идея добра и её собственное затруднение, а за ней последняя глава книги: абсолютная идея и метод. Дальше: т. II, с. 229–234.