Величина перестала быть безразличнойСамая короткая глава отдела — и последняя перед мерой
В прошлой главе определённое количество гнало себя в бесконечность и в этом бегстве вернуло себе качество: два числа порознь могут быть какими угодно, но их связь держится твёрдо. Эта связь и берётся теперь как предмет.
В отношении определенное количество уже более не обладает лишь безразличной определенностью, а качественно определено как безоговорочно соотнесенное со своим потусторонним. Наука логики, т. 1, с. 282
Определенное количество не только находится в отношении, но оно само положено как отношение. Наука логики, т. 1, с. 282
Дальше — три формы отношения, от самой внешней к самой внутренней: прямое, обратное и степенное. Гегель предупреждает, что глава будет короткой: о природе этих отношений «многое уже было сказано наперёд» в примечаниях о количественной бесконечности, и здесь остаётся «лишь разъяснить абстрактное понятие этих отношений» (с. 283).
«Показатель» — не то, что вы подумалиДва слова, на которых спотыкаются в этой главе
Показатель (нем. Exponent)
Это не «показатель степени» из школьной алгебры. У Гегеля показатель — третье в отношении, помимо двух его членов: то устойчивое, в чём выражена их связь. Сам он членом отношения не считается — Гегель говорит, что показатель есть «граница членов своего отношения» (с. 287). И в каждой из трёх форм он устроен по-разному:
— в прямом отношении показатель есть частное сторон (с. 283–284);
— в обратном — их произведение (с. 285);
— в степенном он вообще перестаёт быть посторонним числом и получает «совершенно качественную природу» (с. 289).
Степенное отношение (нем. Potenzverhältnis)
Не путать с градусом из предыдущей главы. Там немецкое Grad — степень интенсивности, градус термометра; здесь Potenz — математическая степень, a × a. Переводчик специально оговаривает это различие в примечании (с. 176), потому что по-русски оба слова хочется назвать «степенью».
Ещё два слова придут из предыдущей главы и здесь снова окажутся ключевыми: единица (то, чем считают) и численность (сколько их). Вся разница между тремя отношениями — в том, как эти два момента распределены между сторонами.
Прямое отношениеОдна сторона — единица, другая — численность
Самая простая связь: две величины меняются вместе, во сколько раз выросла одна, во столько же выросла другая. Качественного здесь ещё почти не видно — «определённое количество положено пока что исключительно в аспекте определённого количества» (с. 282).
Обратите внимание на кнопку «считать единицей другую сторону». Показатель при этом переворачивается — и это не наша вольность, а замечание самого Гегеля:
Показатель… как частное сам имеет значение только либо численности, либо единицы. Нет никакого указания, какой из членов отношения следует брать за единицу. Наука логики, т. 1, с. 284
Отсюда и вывод о бедности этой формы: обе стороны, собственно, составляют «лишь одно определённое количество» (с. 284), а показатель — просто число, добытое делением. Связь есть, но она ещё ничего не ограничивает.
Обратное отношениеСтороны отнимают величину друг у друга
Теперь показатель — не частное, а произведение сторон. И связь сразу становится жёсткой: целое задано, а стороны делят его между собой. Что прибавилось одной, ровно то отнялось у другой.
Каждая сторона здесь имеет величину только за счёт другой — Гегель говорит, что они «ограничивают друг друга внутри показателя» и каждая «есть отрицательное другого» (с. 286).
Каждая, таким образом, содержит в себе также и другую и измеряется ею, ибо каждая должна быть только тем определенным количеством, которым не является другая; для значения каждой из них величина другой необходима и, стало быть, от нее неотделима. Наука логики, т. 1, с. 287
Что сказано. В обратном отношении сторона имеет ровно ту величину, которой не взяла другая. Своей величины у неё нет — только доля целого.
Пример. В опыте выше поставьте A равным 6 — и B немедленно 4. Не потому, что мы так посчитали, а потому, что иначе A не было бы шестёркой в этом отношении.
А теперь — главное место раздела, ради которого стоит нажать «довести A до предела». Показатель есть граница, к которой каждая сторона может подходить сколь угодно близко и которой не достигает никогда: чтобы A сравнялось с показателем, B должно обратиться в ничто — а тогда исчезнет и само отношение.
Показатель есть граница членов своего отношения, внутри которой они обратно друг другу увеличиваются и уменьшаются, причем они не могут стать равными показателю по той утвердительной определенности, которая свойственна ему как определенному количеству. Наука логики, т. 1, с. 287
Узнаёте? Это та же дурная бесконечность, что и в прошлой главе, только загнанная внутрь отношения: недостижимое потустороннее теперь не где-то за горизонтом, а прямо здесь — в виде показателя, который стороны обступают с двух сторон. Разница в том, что теперь оно налицо: показатель — не выдумка, а конкретное число, «утвердительное посюстороннее» (с. 288).
Степенное отношениеВеличина, которая производит себя из себя
Последний шаг: стороны перестают быть разными числами. В a × a единица и численность — одно и то же: сколько единиц, столько же и в каждой единице. Внешнее число больше не нужно — величина определяется собой.
Определенное количество, полагающее себя в своем инобытии тождественным с собою, определяющее само свое выхождение за себя, достигло для-себя-бытия. Наука логики, т. 1, с. 289
Что сбивает. Три причастия подряд описывают одно и то же. «Полагающее себя в своём инобытии тождественным с собою» — становясь другим (большим), остаётся собою. «Определяющее само своё выхождение за себя» — насколько выйти, решает само.
Пример. В a × a второй множитель не приходит со стороны: это она же сама.
Поэтому и показатель здесь другой:
Показатель этого отношения уже более не есть некоторое непосредственное определенное количество, как в прямом, а также и в обратном отношении. Он имеет в степенном отношении совершенно качественную природу. Наука логики, т. 1, с. 289
Смысл этого шага проще, чем кажется. В прямом отношении связь двух величин задавалась третьим числом со стороны. В обратном — тоже, только жёстче. А здесь никакого третьего числа нет: величина сама себе и единица, и численность. Внешность, из-за которой количество всё время убегало за себя, оказалась опосредствована самой величиной — и убегать больше некуда.
Количество оказалось качествомКонец второго отдела
Соберём весь путь. Количество начиналось как определённость, вещи безразличная. Оно не удержалось: граница поплыла, начался бесконечный прогресс. В прогрессе количество отрицало собственное безразличие и вернулось к себе — сначала как отношение двух сторон, потом как отношение, в котором сторона одна.
Итак, первоначально количество как таковое выступает как нечто противостоящее качеству. Но само количество есть некоторое качество, соотносящаяся с собою определенность вообще… Наука логики, т. 1, с. 291
И вот определенное количество как безразличное или внешнее определение, так что оно вместе с тем снято как такое определение и есть качество и то, через что нечто есть то, что оно есть, — такое определенное количество есть истина определенного количества, мера. Наука логики, т. 1, с. 291
Кто есть кто. «Такое определённое количество» — то, о котором вся фраза: безразличное — и снятое как безразличное.
Что сказано. Величина, которая перестала быть вещи безразличной: перейди её — и вещь перестанет быть собою. Это и есть мера.
Мера — это величина, которая вещи уже не безразлична: перейди её, и вещь перестанет быть собой. С неё начинается третий отдел (с. 293) и последняя часть «Учения о бытии».
Карта главы
Читается так: в бесконечном прогрессе количество вернуло себе качество, и связь двух величин стала предметом → сначала она внешняя (частное), потом жёсткая (произведение, где показатель — недостижимая граница) → наконец стороны совпадают, и величина определяется собой → такое количество уже неотделимо от того, что оно есть: это мера.
Одно отступлениеМожно ли выражать понятия степенями
Гегель начинает с напоминания: трудности вокруг количественно бесконечного идут от качественного момента, скрытого в количестве, и «в особенности качественное в степенном отношении обнаруживает многообразное развитие» (с. 291). Отсюда соблазн, которому в его время поддались многие.
Соблазн такой: раз степень так близка к понятию, давайте выражать понятия степенями. «В новейшее время» так и делали: понятие в своей непосредственности называли первой степенью, понятие в различии — второй, понятие, вернувшееся к себе, — третьей (с. 292).
Ответ Гегеля двойной. Как символ — возражать особенно не на что: числа и степени не хуже любых других значков. Но именно поэтому и не лучше: символика подставляет вместо понятия внешнюю картинку и позволяет не проделывать работу мысли. Он замечает попутно, что и привычные «сила», «субстанциальность», «причина и действие» — тоже лишь символы, когда их прикладывают к жизни или духу, а значит, «неистинные определения» применительно к ним; а уж числовые степени и подавно (с. 293).
Это ровно та же линия, что и в примечании про Пифагора в главе о числе: количество может быть предметом мысли, но не может быть её языком.
Четыре частые ошибки
«Показатель — это показатель степени, как в a²».
Показатель (Exponent) — не член отношения, а то третье в нём, в чём выражена связь двух сторон: в прямом отношении это частное, в обратном — произведение, а в степенном он вообще перестаёт быть числом со стороны (с. 283–289).
«Обратное отношение — это школьная обратная пропорциональность, и всё».
Гегеля интересует не формула, а то, что каждая сторона имеет величину только за счёт другой и что показатель есть граница, к которой стороны подходят сколь угодно близко и которой не достигают (с. 286–287). Это дурная бесконечность, загнанная внутрь отношения.
«Степенное отношение — просто операция возведения в степень».
Важна не операция, а её форма: в a × a единица и численность совпадают, и величина определяется собой, а не посторонним числом. Поэтому показатель здесь «имеет совершенно качественную природу» (с. 289).
«Количество и качество — противоположности, и на том стоим».
Итог всего отдела прямо противоположный: «само количество есть некоторое качество» (с. 291). Именно поэтому дальше и получается мера.