Граница величине безразличнаЗначит, она не держится
Во второй части выяснилось: количественная граница не задевает того, что ограничивает. Но тогда ничто не мешает ей быть другой — и величина начинает гнать сама себя.
Из этого получаются две бесконечности: та, за которой можно гнаться вечно, и та, которая обнаруживается на месте.
Дурная количественная бесконечностьТот же тупик, что и в главе о конечности, но теперь с числами
бесконечно большое
бесконечно малое
Эту бесконечность, которую упорно определяют как потустороннее конечного, следует назвать дурной количественной бесконечностью. Она… есть вековечный переход туда и обратно от одного члена остающегося противоречия к другому, от границы к ее небытию и от последнего назад к ней. Наука логики, т. 1, с. 201
Кто есть кто. «Её небытие» — то, что лежит за границей. «Последнего» — этого самого небытия. «К ней» — обратно к границе.
Что сказано. Ставим границу (скажем, число) → шагаем за неё → там оказывается новая граница → снова шаг. Ходьба туда-обратно, а не движение вперёд.
Пример. Счётчик из опыта выше: 10 → 100 → 1000. Каждый шаг за границу немедленно даёт новую границу.
И тут — одно из самых неожиданных мест книги. Именно этот бесконечный прогресс принято считать возвышенным. Гегель приводит знаменитый пассаж Канта о звёздном небе («связь звезд и звезд, и еще звезд, миров и миров, и еще миров, систем и систем…», с. 202) и «страшное описание вечности» Галлера, которое Кант цитировал:
Нагромождаю тьму чисел, мильоны гор, нагромождаю времена над временами, миры над мирами. И когда я со страшной высоты снова взираю с головокружением на тебя, то вся сила чисел, умноженная тысячекратно, еще не составляет и части тебя. Я их вычитаю, а ты — весь предо мною. цит. по Наука логики, т. 1, с. 203
Гегель хвалит эти строки — но за другое, чем принято. Ценно в них не нагромождение, а последняя строка: «я их вычитаю». Нагромождение ничего не дало и было отброшено; возвышенным оказывается не бесконечный ряд, а отказ от него. Само же по себе бесконечное убегание он называет «бессилием устранить границу и вековечным возвращением в неё» (с. 202).
Развязка: отношениеВнутри количества снова появляется качество
Выход тот же, что и в качественной бесконечности: не гнаться за потусторонним, а заметить, что уже произошло. В бесконечном прогрессе определённое количество отрицает себя — но отрицает он именно своё безразличие. А отрицание отрицания есть возврат к себе, то есть качество:
Бесконечное, имеющее в бесконечном прогрессе лишь пустое значение небытия, недостигнутого, но искомого потустороннего, есть на самом деле не что иное, как качество. Наука логики, т. 1, с. 213
Что сказано. То, за чем гонится бесконечный ряд, — не гигантское число, а качественная определённость. И она уже есть: в отношении.
Что сбивает. «Потустороннее» — не мистика, а просто «то, что всегда за очередной границей». «Пустое значение небытия» значит: единственное содержание такого бесконечного — «этого ещё нет».
Пример. Умножайте 2/7 хоть до 200/700 — наклон прямой не дрогнет. Эта устойчивость и была тем, к чему бежал ряд.
Практически это выглядит так: берутся два определённых количества, каждое из которых само по себе безразлично и может быть каким угодно, — но их отношение держится твёрдо. Это и есть истинная количественная бесконечность.
Оба числа в отношении — по-прежнему безразличные количества: их можно удвоить, утроить, взять любыми. Но само отношение при этом не меняется — значит, здесь есть определённость, которая устойчива, то есть качественная. Количество вернуло себе качество, не перестав быть количеством.
Определенное количество этим положено как оттолкнутое от себя, благодаря чему, следовательно, имеются два определенных количества, которые, однако, сняты, суть лишь как моменты единого единства. Наука логики, т. 1, с. 213
Что сказано. Вместо одного числа появляются два — но ни одно из них не самостоятельно: они лишь стороны одной связи.
Что сбивает. «Оттолкнутое от себя» — отсылка к отталкиванию из главы о для-себя-бытии: величина порождает вторую из себя, а не встречает её снаружи. «Сняты» — потеряли самостоятельность, но сохранились.
Пример. В 2/7 ни двойка, ни семёрка сами по себе ничего не значат; значит только их отношение.
Это и есть количественное отношение — предмет третьей главы отдела (прямое, обратное и степенное отношения). А когда качество и количество окончательно срастутся, получится мера — третий отдел и конец первого тома.
Два отступленияГраницы мира и математическая бесконечность
Первая космологическая антиномия: имеет ли мир начало во времени и границы в пространстве — или не имеет. Гегель разбирает её так же, как вторую в прошлой главе: оба доказательства ведутся от противного, и оба сводятся к одному и тому же простому противоречию:
…оба положения, а равно и доказательства их… сводятся не к чему иному, как к двум следующим простым, противоположным утверждениям: граница существует, [и] за границей есть нечто.по с. 208
То есть спор о мире — это тот же спор об определённом количестве: граница поставлена, и она же тут же превзойдена. Никакой особой космологической тайны здесь нет; есть противоречие самого понятия определённого количества.
Самая большая и самая специальная часть главы: определённость понятия математического бесконечного, цель дифференциального исчисления и другие формы, связанные с качественной определённостью величины. Разбираются Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж, метод исчерпывания, «последние отношения исчезающих величин».
Смысл, ради которого стоит знать об этих страницах, укладывается в две мысли.
Первая — комплимент математике. В основании математического бесконечного, пишет Гегель, «лежит понятие истинного бесконечного», и оно «стоит куда выше, чем обычно так называемое метафизическое бесконечное», от имени которого против него возражают (с. 214). Бесконечно малое — это не крошечное число: это величина, которая исчезла как самостоятельное количество и существует лишь в отношении. Ровно то, к чему пришла и логика в конце главы.
Вторая — упрёк. Пользуясь этим понятием с блестящими результатами, математика «не умеет выяснить метафизику своего собственного понятия» и оправдывает свои приёмы задним числом (с. 214). Отсюда, по Гегелю, и её неспособность очертить границы применимости собственного инструмента.
Две частые ошибки
«Бесконечно большое — это просто очень большое число».
Это дурная количественная бесконечность: вечное потустороннее, к которому ни один шаг не приближает (с. 201). Истинная бесконечность в количестве — не громадное число, а устойчивое отношение двух любых чисел.
«Гегель, конечно, против математики».
Он пишет, что в основании математического бесконечного «лежит понятие истинного бесконечного» и что оно выше метафизического бесконечного его критиков (с. 214). Упрёк в другом: математика пользуется этим понятием, не умея его обосновать.